Với các ứng dụng của tích phân giá trị chủ yếu, hãy xem Whittaker and Watson,[5] Gakhov,[6] Lu,[7] hay Zwillinger.[8] Xem thêm thảo luận về phép biến đổi Poincaré-Bertrand trong Obolashvili.[9] Một ví dụ về việc trật tự của phép lấy tích phân không thể biến đổi được cho bởi Kanwal:[10]

1 ( 2 π i ) 2 ∫ L ∗ d τ 1 τ 1 − t   ∫ L ∗   g ( τ ) d τ τ − τ 1 = 1 4 g ( t ) {\displaystyle {\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\int _{L}^{*}{\frac {d{\tau }_{1}}{{\tau }_{1}-t}}\ \int _{L}^{*}\ g(\tau ){\frac {d\tau }{\tau -\tau _{1}}}={\frac {1}{4}}g(t)\,}

với:

1 ( 2 π i ) 2 ∫ L ∗ g ( τ )   d τ ( ∫ L ∗ d τ 1 ( τ 1 − t ) ( τ − τ 1 ) ) = 0   . {\displaystyle {\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\int _{L}^{*}g(\tau )\ d\tau \left(\int _{L}^{*}{\frac {d\tau _{1}}{\left(\tau _{1}-t\right)\left(\tau -\tau _{1}\right)}}\right)=0\ .}

Dạng thứ hai được đánh giá bằng cách sử dụng khai triển phân số từng phần và một đánh giá bằng cách sử dụng công thức Sokhotski–Plemelj:[11]

∫ L ∗ d τ 1 τ 1 − t = ∫ L ∗ d τ 1 τ 1 − t = π   i   . {\displaystyle \int _{L}^{*}{\frac {d\tau _{1}}{\tau _{1}-t}}=\int _{L}^{*}{\frac {d\tau _{1}}{\tau _{1}-t}}=\pi \ i\ .}

Ký hiệu  ∫ L ∗ {\displaystyle \int _{L}^{*}}  chỉ ra một giá trị chủ yếu Cauchy. Xem Kanwal.[10]